Rodrigo e Michael.

NÚMEROS COMPLEXOS

A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:

onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor ou igual a x, é aproximadamente

quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, em 1898.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .


Bibliografia
http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/29032004.php