Nome:Lucas N° 28
Nome:Thais chagas N° 44


NÚMEROS COMPLEXOS
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:

onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
O Surgimento dos Numeros Complexos
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da historia. Osmatematicos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseadosno que hoje chamamos de completamento de quadrado".Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matematica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevase o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamentevem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula deBaskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11. Os N umeros Complexos Sao De nidosA Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendodescobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas parade nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade dos eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndicde seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar aVerdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, quee considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoesalg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nemsempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezeselas são imaginarias".
Números complexos
História de uma unidade imaginária
Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 + e 5 - funcionariam como soluções do problema.Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:
· a soma dos dois números é 10;
· produto dos dois números é 40.Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .Porém, como se chega a = 4?A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + e a - .Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:= 2 + = 2 - e, finalmente,= 2 + + 2 - = 4.O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".
Leonhard Euler
Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números. Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.a + bi (c + di) = a c + (b d)i(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)iPara quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2