Uma Introdução ao estudo dos Números Complexos
Renate Watanabe
M. Sc. Illinois Univ.
Prof. Unive. Mackenzie
Prof. no E.E.S.G. Virgília Rodrigues Alves Carvalho Pinto
Ao iniciar o estudo dos números complexos no 2o grau, o professor, em geral, enfrenta um dilema: Deve ele apresentar os números complexos simplesmente como sendo "números da forma a + bi onde i2 = -1" ou como "pares ordenados de números reais sujeitos a duas operações a serem definidas"?
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
O número complexo é um par ordenado de números reais e, portanto, não é um número real. Mas, se a é real, os pares ordenado (a, 0) se comportam, nas operações como os números reais.
Temos:Bibiografia
ia da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
terça-feira, 25 de maio de 2010
willian 3ºa n°46
Numeros Complexos
Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matem
atica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com regua e compasso.
A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.
Com do Imperio Romano e a ascenssao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.
Os matematicos hindus avancaram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamente
vem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a formula de
Baskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matematico hindu Sridhara, no seculo 11.
O interesse pelo estudo da Matematica ressurgiu na Europa, mais especi camente na Italia, no
seculo XVI. La, e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resoluçao da equacao do 3o
grau, e que se percebeu que os numeros reais nao eram suficientes e as primeiras ideias da criacao
do conjunto dos numeros complexos.
Bibliografia
Resumo: Fabricio / Gustavo
Números Complexos
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta real está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto do plano ao número complexo . Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:
Forma retangular ou cartesiana: representa o número Z em coordenadas cartesianas ,
Forma retangular ou cartesiana: representa o número Z em coordenadas cartesianas ,
eparando a parte real da parte imaginária.
Forma polar: onde r é a distância euclidiana do ponto até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada . Enquanto é o ângulo entre a semi-reta e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por .
Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial.
Forma polar: onde r é a distância euclidiana do ponto até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada . Enquanto é o ângulo entre a semi-reta e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por .
Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial.
Operações Elementares
O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades associativa, comutativa e distribuitiva, levando em consideração a identidade.
Fonte: Wikipédia
imagem: Google
Numeros Complexos
Os numeros complexos Ao iniciar o estudo dos números complexos no 2o grau, o professor, em geral, enfrenta um dilema: Deve ele apresentar os números complexos simplesmente como sendo "números da forma a + bi onde i2 = -1" ou como "pares ordenados de números reais sujeitos a duas operações a serem definidas"?
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Adotar no ensino tão somente a primeira opção é parar conceitualmente no século XVI. Adotar a segunda opção é inverter o processo histórico.
bruna
vinicius 3a
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Adotar no ensino tão somente a primeira opção é parar conceitualmente no século XVI. Adotar a segunda opção é inverter o processo histórico.
bruna
vinicius 3a
Renan Nº 35 e Daiane Nº 06 (Números Complexos)
Números Complexos
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Definição:
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Definição:
Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)u = 100i ( a = 0 e b = 100)
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
SURGIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Um pouco de história
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
Esse problema, dizia ele, é "manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar" (Cardano, além de jogador, astrólogo e professor, era também um médico de renome), e mostrou que
eram soluções do problema. Concluiu porém que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação tão sutil quanto inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Aplicando uma regra que ele mesmo publicara.
Os números complexos surgiu após o IMPÉRIO ROMANO.
Após isso os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em ALGEBRA e BASKARA é o nome que imediatamente vem a nossa memória equações do 2°grau.
A formula de baskara não foi descoberta por ele mais sim hindo sridhara,no século 11.
BASKARA dada equação: ax²+bx+c=0com a diferente 0.
Consta que, por volta de 1510 um matematico Italiano de nome Scipione Del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³+px+q=0.
Para finalizar concluimos que os numeros complexos são uma parte imaginaria e real.
Bibliografia
História da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
Esse problema, dizia ele, é "manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar" (Cardano, além de jogador, astrólogo e professor, era também um médico de renome), e mostrou que
eram soluções do problema. Concluiu porém que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação tão sutil quanto inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Aplicando uma regra que ele mesmo publicara.
Os números complexos surgiu após o IMPÉRIO ROMANO.
Após isso os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em ALGEBRA e BASKARA é o nome que imediatamente vem a nossa memória equações do 2°grau.
A formula de baskara não foi descoberta por ele mais sim hindo sridhara,no século 11.
BASKARA dada equação: ax²+bx+c=0com a diferente 0.
Consta que, por volta de 1510 um matematico Italiano de nome Scipione Del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³+px+q=0.
Para finalizar concluimos que os numeros complexos são uma parte imaginaria e real.
Bibliografia
História da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
Amanda Moraes
Roger Antonio
o surgimento dos numeros complexos- Erick e Priscila
A história dos números complexos revela-se fascinante.
Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração.
Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações.
Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5.
Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero.
Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é .
Os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:
onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI.
O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos.
Além desse resultado importantíssimo, a álgebra dos números complexos originou uma nova área de investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números.
Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, sem os números complexos.
A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário.
Bibliografia:
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