SURGIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um pouco de história
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
Esse problema, dizia ele, é "manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar" (Cardano, além de jogador, astrólogo e professor, era também um médico de renome), e mostrou que
eram soluções do problema. Concluiu porém que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação tão sutil quanto inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Aplicando uma regra que ele mesmo publicara.
Os números complexos surgiu após o IMPÉRIO ROMANO.
Após isso os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em ALGEBRA e BASKARA é o nome que imediatamente vem a nossa memória equações do 2°grau.
A formula de baskara não foi descoberta por ele mais sim hindo sridhara,no século 11.
BASKARA dada equação: ax²+bx+c=0com a diferente 0.
Consta que, por volta de 1510 um matematico Italiano de nome Scipione Del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³+px+q=0.

Para finalizar concluimos que os numeros complexos são uma parte imaginaria e real.


Bibliografia

História da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York

Amanda Moraes

Roger Antonio

o surgimento dos numeros complexos- Erick e Priscila

A história dos números complexos revela-se fascinante.

Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração.

Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações.

Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5.

Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero.

Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é .

Os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.

Cada número complexo z pode ser representado na forma:



onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:

O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI.

O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos.

Além desse resultado importantíssimo, a álgebra dos números complexos originou uma nova área de investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números.

Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, sem os números complexos.

A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário.

Bibliografia:

http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/29032004.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/Numeros_complexos#O_conjunto_dos_n.C3.BAmeros_complexos_como_extens.C3.A3o_alg.C3.A9brica

Numeros complexos

Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
O passo seguinte foi dado por Bombelli (1560). Observando a equação acima lhe ocorreu que talvez as duas raízes cúbicas fossem expressões do tipo e e que, essas, somadas da maneira usual, dessem 4: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." E, de fato, Bombelli mostrou que as raízes cúbicas achadas por Cardano eram, respectivamente, iguais a e e que somadas dão 4.

Willian n° 46

O Surgimento dos Numeros Complexos
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da hist oria. Os
mateaticos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseados
no que hoje chamamos de completamento de quadrado".
Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matem
atica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.
A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.
Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
e o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.
Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamente
vem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula de
Baskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11.

Os N umeros Complexos Sao De nidos
A Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendo
descobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas para
de nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.
por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade do
s eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,
independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.
Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndic
de seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar a
Verdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que
e considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.
Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoes
alg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nem
sempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezes
elas s~ao imagin arias".
5

Alunos: Guilherme, 15; Jéssica Plata, 21


Números Complexos I

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i


Potências de i :

i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i2001

Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .

BIBLIOGRAFIA: http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html

FEI VESTIBULAR.

CONCLUSÃO DOS ALUNOS:

Conclui-se que, os números complexos surgiram a partir das raizes quadradas de números negativos. E que ao passar do tempo os matemáticos Ulisses, Argand e Gauss se aprofundaram ainda mais nos estudos das raizes quadradas dos numeros negativos, e assim estes são considerados os maiores estudiosos da teoria dos numeros complexos.

Sendo considerada uma unidade imaginaria representada pela letra "I" sendo a raiz de -1.